Математичні задачі

Кожен із трьох друзів зіграв однакову кількість шахових партій з іншим. При цьому вияснилось, що перший з них виграв найбільшу кількість партій, другий програв найменшу кількість партій, а третій набрав найбільшу кількість очків. Чи могло так бути? Якщо ні, то доведіть. Якщо так, то наведіть приклад.

Вчитель перевірив роботи трьох учнів - Олексієва, Василенка і Сергієнка, але не приніс у клас. Учням він сказав: "Один із вас отримав "3", другий - "4", а третій - "5". У Сергієнка не "5", у Василенка не "4", а у Олексієва, здається, "4". Коли принесли зошити, то виявилось, що вчитель тільки одному учневі сказав правильну оцінку, двом іншим - неправильну. Які оцінки отримали учні?

Є 10 карток. На кожній з них з обох сторін написано по одному натуральному числу: на першій – числа і , на другій – числа і , … , на 10-тій – числа 19 і 20. Усі ці картки розташовані в ряд на довгому столі. Двоє гравців грають у таку гру. За один хід гравець довільно обирає п’ять карток і перевертає їх. Програє той гравець, після ходу якого на столі з'явиться розташування чисел, що вже зустрічалося у ході гри (можливо, в початковий момент). Хто має можливість забезпечити собі виграш – той, хто починає гру, чи його суперник?

Троє хлопчиків грали в шашки. Усього було зіграно три партії. По скільки партій зіграв кожен хлопчик?

Колгоспниця принесла на базар качани капусти і продала трьом покупницям. Перша взяла половину всіх качанів і ще півкапустини. Друга купила половину качанів, що залишились і ще півкапустини. Третя покупниця взяла останній качан. Скільки качанів капусти винесла на базар колгоспниця?

Василю, Петру, Семену і їхнім дружинам Наталії, Ірині, Ганні разом 151 рік. Кожен чоловік старше своєї дружини на 5 років. Василь на 1 рік старше Ірини. Наталії й Василю разом 48 років, Семену й Наталії разом 52 роки. Хто на кому одружений, скільки кому років? (Вік повинен бути виражений в цілих числах.)

На перегонах кіт-спринтер пересувається стрибками по два метри, а пес-спринтер - по три метри. Пес встигає стрибнути двічі за той час, що кіт встигає стрибнути тричі. Змагання проводяться на дистанції 100 метрів. Хто переможе і чому?

Є дві мотузки. Якщо мотузку підпалити, вона горить послідовно, як бікфордів шнур. Процес горіння не рівномірний (швидкість може змінюватись протягом горіння довільним чином), але кожна мотузка горить 1 хвилину. Потрібно з їхньою допомогою відміряти 45 секунд.

Ви знаходитесь на горі висотою 100м. Посередині гори на висоті 50м є виступ. У вас є мотузка довжиною 75м. Мотузку можна прикріпити на позиціях 100м і 50м, можна розрізати і зв'язати, втратами мотузки на вузли нехтуємо. Як спуститись із гори?

На новорічному святі присутні 2N осіб. Кожна людина знайома мінімум з N інших людей, присутніх на святі. Доведіть, що навколо новорічної ялинки можна розташувати 4 людини таким чином, що як мінімум для кожного з них двоє тих, хто стоїть поруч, були знайомі.