20 задач

Щоденно впродовж року учень розв’язував не менше однієї задачі кожного дня, при цьому кожного тижня він розв’язував не більше як 12 задач. Довести, що знайдеться декілька послідовних днів, в які він розв’язував 20 задач.

Відповідь:

[hidepost]Будемо вважати, що рік складається з 52 тижнів. За цей час учень розв’язав не більше 624 задач. Позначимо через а1 кількість задач, розв’язаних за перший день, через а2 – кількість задач, розв’язаних за два дні; а3 – кількість задач, розв’язаних за три дні і т. д. Кожне з чисел а1, а2, а3, … а364. Не більше, ніж 52 Ч 12 = 624. Всі ці числа різні. Розглянемо також 364 таких числа: а1 + 20, а2 + 20, а3 + 20, …, а364 + 20.

Серед цих чисел немає ні однієї пари однакових, кожне з них менше 644.

Значить, серед 728 цілих позитивних чисел, кожне з яких менше 644, знайдеться більше, ніж одна пара рівних. Хай ак = а1 + 20, тоді ак – а1 = 20. А це значить, що за час між “к-тим” та “і-тим” днями учень розв’язав рівно 200 задач. До речі, впродовж року буде 84 таких проміжків часу, коли учень розв’язував по 20 задач.

У цій задачі достатньо обмежитися часом значно меншим, ніж рік. Аналогічно можна показати, наприклад, що впродовж 77 днів також знайдеться декілька послідовних днів, коли учень розв’язував рівно 20 задач.[/hidepost]