2 правильних восьмикутники
З картону вирізано 2 правильних восьмикутники. У вершинах одного з них поставлені по черзі (навпроти годинникової стрілки) числа від 1 до 8. Чи можна розставити в вершинах другого восьмикутника ті самі числа так, щоб у будь-якому накладенні другої фігури на першу яка-небудь вершина потрапляла у вершину з тим самим номером.
Відповідь:
[hidepost]Припустімо, що це можливо. Накладемо другий восьмикутник так, щоб одиниці співпадали. Хай при цьому проти числа і на верхньому восьмикутнику на нижньому знаходиться цифра а1 (а1 = 1, 2 …, 8). Для того, щоб поєднати цифри а1 верхнього і нижнього восьмикутника, можна повернути верхній восьмикутник проти годинникової стрілки на кут b1 = 45°, де
b1 = і – а1, якщо і > а1,
і – а1 + 8, якщо і Ј а1
Доведіть, що b1 приймає всі значення 1, 2, …, 8. Складаючи b1, отримаємо b1 + b2 + … + b8 = (1 + 2 + … + 8) – (а1 + а2 + … + а8) + 8К,
де К – яке-небудь ціле число. Але а1 + а2 + … + а8 = b1 + b2 + … + b8 = 1 + 2 + … + 8 = 36
А 36 не ділиться на 8, то приходимо до протиріччя.[/hidepost]
Припустімо, що це можливо. Накладемо другий восьмикутник так, щоб одиниці співпадали. Хай при цьому проти числа і на верхньому восьмикутнику на нижньому знаходиться цифра а1 (а1 = 1, 2 …, 8). Для того, щоб поєднати цифри а1 верхнього і нижнього восьмикутника, можна повернути верхній восьмикутник проти годинникової стрілки на кут b1 = 45°, де
b1 = і – а1, якщо і > а1,
і – а1 + 8, якщо і Ј а1
Доведіть, що b1 приймає всі значення 1, 2, …, 8. Складаючи b1, отримаємо b1 + b2 + … + b8 = (1 + 2 + … + – (а1 + а2 + … + а8) + 8К,
де К – яке-небудь ціле число. Але а1 + а2 + … + а8 = b1 + b2 + … + b8 = 1 + 2 + … + 8 = 36
А 36 не ділиться на 8, то приходимо до протиріччя.
Не потрібно копіювати існуючу відповідь в коментар
Підтверджую!