10 карток

Є 10 карток. На кожній з них з обох сторін написано по одному натуральному числу: на першій – числа  і , на другій – числа  і , … , на 10-тій – числа 19 і 20. Усі ці картки розташовані в ряд на довгому столі. Двоє гравців грають у таку гру. За один хід гравець довільно обирає п’ять карток і перевертає їх. Програє той гравець, після ходу якого на столі з’явиться розташування чисел, що вже зустрічалося у ході гри (можливо, в початковий момент). Хто має можливість забезпечити собі виграш – той, хто починає гру, чи його суперник?

Відповідь:

[hidepost]Доведемо, що виграє перший гравець. Для цього йому достатньо розбити усі можливі способи розташування чисел на пари, помістивши до однієї пари два розташування, які відрізняються одне від одного лише зміною перших п’яти чисел розташувань. Тоді виграшна стратегія першого гравця полягає у тому, що він завжди перевертає лише перші п’ять карток. Після першого ходу він створює розташування чисел, яке перебуває у парі з початковим розташуванням чисел. Далі, кожний наступний хід другого гравця буде створювати розташування чисел, яке не зустрічалося раніше (інакше він програє) і входить до нової пари розташувань, а наступним ходом перший гравець створює розташування чисел, яке також не зустрічалося раніше і є другою компонентою цієї пари. Оскільки кількість усіх можливих розташувань чисел є скінченою, то в деякий момент другий гравець вже не зможе створити розташування цих чисел, яке раніше не зустрічалося.
До того ж, кількість всіх можливих розташувань є парною, і дорівнює 2 в 10 степені[/hidepost]